11. டிமாவர் தேற்றம் என்றால் என்ன?

ஒரு சிக்கல் எண்ணின் அடுக்கைக் கணக்கிடும் வாய்பாடு. கோணவடிவில் (போலார்) எண் இருக்கும்.

z = r (cos θ) + isin θ)

பின் zⁿ = rⁿ (cosn θ + (isinn θ)


12. பெர்மட் இறுதித் தேற்றத்தைக் கூறுக.

சமன்பாடு xⁿ×yⁿ = zⁿ என்னும் தேற்றம். இது பெர்மட் கண்டறிந்த அருமையான தேற்றம். n இரண்டிற்கு மேற்பட்ட முழு.


13. பேப்பஸ் தேற்றங்கள் யாவை?

ஒரே தளத்தில் அமையும் கோடு பற்றிய தளவடிவம் அல்லது வளைகோடு சுழற்சி குறித்த இரு தேற்றங்கள்.


1. முதல்தேற்றம்: தன்னைக் கடக்காத ஒரு கோட்டைச் சுற்றிச் சுழலும் வளைகோட்டினால் உண்டாக்கப்படும் வளைபரப்பு, வளைகோட்டின் நீளத்திற்குச் சமம். இதை அதன் நடுக்கோட்டுச் சந்தியினால் குறிக்கப்படும் வட்டப் பரிதியால் பெருக்க வேண்டும்.


2. இரண்டாம் தேற்றம்: தன்னைக் கடக்காத ஒரு கோட்டைச் சுற்றிச் சுழலும் தளப்பரப்பினால் உண்டாக் கப்படும் ஒரு கன உருவத்தின் கனஅளவு, அதன் பரப்புக் குச் சமம். இதைப் பரப்பின் திணிவுமையத்தால் குறிக்கப் படும் வட்டப் பரிதியால் பெருக்க வேண்டும்.


14. மீதித்தேற்றம் என்றால் என்ன?

f(x) = (x-a) g(x)+ f(a) என்னும் சமன்பாட்டினால் கோவையாக்கப்படும் தேற்றம்.

எ-டு. 2x³+3x²-x-4 என்பதை (x-4) ஆல் வகுக்கக் கிடைக்கும் மீதி உறுப்பு f(4)=128+48-4-4=168. ஒரு பல்லுறுப்புக் கோவையின் காரணிகளைக் கான, இத்தேற்றம் பயன்படுவது. கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் f(1)=2+3-1-4= 0. ஆகவே (x-1) என்பது காரணி.


15. ரோல் தேற்றத்தைக் கூறுக.

a, b என்னும் இரு புள்ளிகளினால் x அச்சை வெட்டும் ஒரு வளைகோடு தொடர்ச்சியானது. a, b க்கிடையே ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடுகோட்டைக் கொண்டிருக்கும் இவ்விடைவெளியில் குறைந்தது ஒரு புள்ளியைக் கொண்டிருக்கும். இதில் வளைகோட்டில் அமையும் தொடுகோடு கிடைமட்டமாக இருக்கும். எ-டு. : y= f(x) வளைகோடு.


16. குலத்தேற்றங்கள் யாவை?


தேற்றம் 1: G என்பது குலமானால்

i) அதன் சமனிஉறுப்பு ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது.

ii) ஒவ்வொரு உறுப்பின் நேர்மாறு உறுப்பும் ஒருமைத்தன்மை வாய்ந்தது.


தேற்றம் 2 : G ஒரு குலம் a,b,c ε G என்றால்

i) a ω b=a ω c ⇒ b-C (இடது நீக்கும் விதி)

ii) b ω a= cba ⇒ b = c (வலது நீக்கும் விதி).


தேற்றம் 3: G ஒரு குலம் என்க. a,b ε G என்றால், aωx= b, ω a=b என்னும் சமன்பாடுகளுக்கு G இல் ஒரு தீர்வு மட்டும் உண்டு.


தேற்றம் 4 : G ஒரு குலம் என்க. a,b ε G என்றால்

i). (a ω b)^-1 = b^-1ω a^-1

ii). (a^-1)^-1 = a


17. பித்தகோரஸ் தேற்றத்தைக் கூறுக.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் பக்க நீளங்ளுக்கிடையே உள்ள உறவு. கர்ணத்தின் வர்க்கம் மற்ற இரு பக்கங்களின் வர்க்கக் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமம்.

C² = a² + b².


18. மறுதலை என்றால் என்ன?

தேற்றத்திற்கு எதிரானது. அதாவது, மாற்றிக் கூறுவது.


தேற்றம்: ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து ஒரு நாணிற்கு வரையப்படும் செங்குத்து அந்நானை இரு சமபகுதிகளாக்கும். மறுதலை: ஒரு வட்டத்தின் மையத்தின் வழியே வரையப்படும் கோடு வட்டத்தின் நாணை இரு சமபகுதிகளாகப் பிரித்தால், அக்கோடு அந்நானுக்குச் செங்குத்தாகும்.


19. இணைகோட்டு அச்சுகளின் தேற்றம் என்றால் என்ன?

ஒர் அச்சைச் சுற்றி ஒரு பொருளின் நிலைமத் திருப்புத் திறன் பின்வரும் கோவையால் பெறப்படும்.

I= 1₀ + md².

m - பொருளின் நிறை. d - அச்சுகளின் பிரிப்பு.


20. ஈருறுப்புத் தேற்றத்தைக் கூறுக.

ஈருறுப்பு விரிவுக்குரிய பொது வாய்பாடு. அது பின்வருமாறு.

(x+y)ⁿ = xⁿ + nx^n-1 y + [n(n-1)/2!] x^n-2 у² + ... уⁿ

எ-டு. n=2 என்னும்பொழுது, (x+y)ⁿ = x² + 2xy + y²

n=3 என்றிருந்தால் (x+y)ⁿ = x³ + 3x²y + 3xy + y³. ஒன்றைக் காட்டிலும் குறைவாகவும் xஐ விடச் சிறியதாகவும் y இருந்தால், பின் n பெரிதாக இருக்கும். அப்பொழுது விரிவின் முதல் சில உறுப்புகள் முழுத்தொடருக்கும் தோராயமாகச் சமம்.

எ-டு. (2+0.02)⁸=2⁸+8×2⁷×0.02+[(8×7)/(2×1)]2⁶×(0.02)²+... = 256 + 20.48 + 0.7168+ ... அல்லது தோராயமாக 277.