11. உட்குலம் என்றால் என்ன?

ஒரு வெற்றற்ற உட்கணம் H ஆனது G இன் ஈரினைச் செயல் θ ஐப் பொறுத்துக் குலமானால் (H, O) ஐ (G, O) இன் உட்குலம் எனலாம்.


12. உட்குலத்தின் பண்புகள் யாவை?


பண்பு 1: குலம் G இன் யாதேனுமோர் உட்குலம் H என்றால்

i) H இன் சமனி உறுப்பும் G இன் சமனி உறுப்பும் ஒன்றே.

ii) ஒவ்வொரு aεHஇல் a இன் நேர்மாறு உறுப்பும் G இல் a இன் நேர்மாறு உறுப்பும் ஒன்றே.


பண்பு 2 : குலம் (G, O) இன் வெற்றற்ற ஓர் உட்கணம் என்க

i) a, b, ε Η = aΟb ε Η

ii) aε H= a^-1 ε H ஆகிய இரண்டும் G இன் உட்குலமாக இருப்பதற்குத் தேவையானதும் போதுமானதுமான நிபந்தனைகள் ஆகும்.


பண்பு 3 : G என்னும் கணத்தில் H என்னும் உட்கணம் உட்குலமாவதற்கு தேவையானதும் போதுமானதுமான நிபந்தனை, a, b, ε H= aOb^-1 ε H என்பதாம்.


13. சமச்சீர் குலம் என்றால் என்ன?

S என்பது வெற்றற்ற ஒரு கணம் என்க. S லிருந்து S க்கு வரையறுக்கப்பட்ட எந்த ஒன்றுக்கொன்று சார்பும் S இன் வரிசை மாற்றம் எனப்படும்.


தேற்றம்: சார்பின் தொகுப்பு என்னும் செயலின் கீழ் S மீதமையும் எல்லா வரிசை மாற்றங்களின் கணம் G ஒரு குலத்தை உருவாக்கும். இக்குலம் Sஇன் சமச்சீர் குலம் எனப்படும்.


14. குலக் கொள்கையின் பயன்பாடுகள் யாவை?


1. கணக்கு : சமன்பாடுகளின் மூலக் கொள்கை.


2. வேதி இயல் : மூலக்கூறுகளின் சமச்சீர்களை விளக்கப் பயன்படுவது. இதனால் அவற்றின் ஆற்றல் மட்டங்களை உறுதி செய்யலாம். அவற்றின் நிறமாலைகளை விளக்கலாம்.


3. இயற்பியல் : சிப்ப எண்களின் அடிப்படையில் சில அடிப்படைத் துகள்கள் வகைப்படுத்தப்பட்டுள்ளன. ஒமேகா - குறை துகளைக் குலத்தின் நீங்கிய உறுப்பாகக் காணலாம்.


4.மொழி இயல் : இத்துறையிலும் பயன்படுவது.


5. பிற துறைகள் : சிப்ப விசையியல், பொதுச் சார்புக் கொள்கை, படிக வரைவியல், துகள் இயற்பியல், வேதி இயல், உயிரியல்.